Materi dan Contoh Pembahasan Soal Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri Matematika Wajib Kelas 11
Barisan Aritmatika Barisan dan Deret Kelas 11 Matematika Materi Pembahasan SMA Soal
Judul Materi : Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri
Kelas : kelas 11
Program : Matematika Wajib SMA
Judul Search Blog : Materi dan Contoh Pembahasan Soal Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri Matematika Wajib Kelas 11
Blog Share :Ajaib Matematika (https://angka6174.blogspot.com)
Gambar : Gambar 2 Contoh Pembahasan Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri
1. Barisan Aritmatika
Suatu barisan U1 , U2 , U3 ,..., Un disebut barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan "b".
Jadi, b = U2 - U1 = U3 - U2 = Un - Un-1
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + 2b
U4 = U3 + b = a + 3b
...
Un = Un-1 + b = a + (n - 1)b
Bentuk Un = a + (n - 1)b ; untuk n bilangan asli ini merupakan bentuk umum dari barisan aritmatika.
Contoh Soal.
Diketahui suatu barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ....
Tentukan:
a. Suku pertama
b. Beda
c. Suku ke 48
Pembahasan:
Barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ....
a. Suku pertama (a) = -7
b. Beda (b) = U₂ - U₁
= -2 -(-7)
= -2 + 7
= 5
c. Suku ke 48
Un = a + (n - 1)b
U₄₈ = a + (48 - 1)b
= -7 + (48 - 1).5
= -7 + (47).5
= -7 + 235
= 228
2. Deret Aritmatika (Deret Hitung)
Arti dari deret aritmatika disini adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret aritmatika adalah:
a + (a + b) + (a + 2b) + ...+ {a + (n -1)b}
Jumlah n suku pertama deret aritmatika (Sn) dirumuskan sebagai:
Sn = n/2 (a + Un ) atau Sn = n/2{2a + (n - 1)b}
Contoh Soal.
Diketahui barisan aritmatika 27, 24, 21, ....
Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut.
Pembahasan:
Barisan: 27, 24, 21, ....
Suku pertama (a) = 27
Beda (b) = 24 - 27 = -3
Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 27 + (20 - 1).(-3)
= 27 + (19).(-3)
= 27 - 57
= -30
Sn = n/2 (a + Un )
S₂₀ = 20/2 (a + U₂₀)
= 10 (27 + (-30))
= 10 (-3)
= -30
Jadi, jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah -30
3. Hubungan antara barisan (Un) dan deret aritmatika (Sn)
Hubungan antara barisan (Un) dan deret aritmatika (Sn) dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.
Un = Sn - Sn-1
4. Sisipan Barisan Aritmatika
Misalkan U1 , U2 , U3 , ..., Un adalah barisan aritmatika dengan suku pertama U1 = a, beda = b, banyaknya suku = n. Apabila di antara dua suku disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membuat barisan aritmatika yang baru, maka:
Barisan semula : a, a+b, a+2b, ...
Barisan baru: a, (a + b), (a + 2b), ..., (a + kb), a + (k + 1)b,...
Di antara barisan semula dan barisan baru diperoleh hubungan:
1. Beda baru (b') => b' = b : (k + 1)
2. Banyaknya suku baru (n') => n' = n + (n - 1)k
3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn ') => Sn ' = n'/2 x (a + Un )
5. Barisan Geometri
6. Deret Geometri (Deret Ukur)
9. Soal dan Pembahasan Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri
Soal ❶
Diketahui suatu barisan aritmetika:
-2, 3, 8, 13, 18, 23, . . .
Tentukan suku ke-50
Pembahasan:
Dari soal diketahui: a = -2 dan b = 8 - 3 = 5
Un = a + (n - 1)b
U50 = -2 + (50 - 1).5
U50 = -2 + (49).5
U50 = -2 + 245
U50 = 243
Soal ❷
Suku ke-6 suatu barisan aritmatika adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Supaya suku ke-n sama dengan 0, maka nilai n adalah....
Pembahasan:
U6 = a + 5b = 24.000
U10 = a + 9b = 18.000 -
-4b = 6.000
b = -1.500
a + 5b = 24.000
a = 24.000 - 5b
a = 24.000 - 5(-1.500)
a = 24.000 + 7.500
a = 31.500
Diketahui Un = 0
⇔ a + (n - 1)b = 0
⇔ 31.500 + (n - 1).(-1.500) = 0
⇔ 31.500 - 1.500n + 1.500 = 0
⇔ 1.500n = 33.000
⇔ n = 22
Jadi, agar Un = 0, maka nilai n = 22
Soal ❸
Dari sebuah deret hitung diketahui suku ketiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Jumlah 10 suku pertama adalah...
Pembahasan:
Un = a + 2b = 9 ......................................(1)
U5 + U7 = 36
⇔ (a + 4b) + (a + 6b) = 36
⇔ 2a + 10b = 36
⇔ a + 5b = 18......................................(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
a + 2b = 9
a + 5b = 18 -
-3b = -9
b = -9/-3
b = 3
Subtitusi nilai b = 3 ke persamaan (1) diperoleh:
a + 2b = 9
a = 9 - 2b
a = 9 - 2.3
a = 3
Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
S10 = 10/2 {2.3 + (10 - 1).3}
S10 = 5 . (33)
S10 = 165
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 165
Soal ❹
Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah......
Pembahasan:
Barisan aritmatika: 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131
Suku pertama, a = 5
beda, b = 8 - 5 = 3
Suku ke-n = 131
Suku tengah, Ut = 1/2(a + Un)
= 1/2 (5 + 131)
= 1/2 (136)
= 68
Soal ❺
Jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah....
Pembahasan:
Barisan bilangan di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 105, 110, 115,..., 295
Suku pertama (a) = 105, beda (b) = 5 dan Un = 295
Un = a + (n - 1)b
⇔ 295 = 105 + (n - 1).5
⇔ 295 = 105 + 5n - 5
⇔ 295 = 100 + 5n
⇔ 5n = 295 - 100
⇔ 5n = 195
⇔ n = 195/5 = 39
Sn = n/2 (a + Un)
S39 = 39/2 (105 + 295)
= 39/2 (400)
= 7.800
Jadi, jumlah semua bilangan diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 7.800
Soal ❻
Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah .....
Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U1 = 50 + 25(1) = 75
U10 = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S10 = 10/2 (75 + 300)
= 5(375)
= 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah
Soal ❼
Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semua terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah. . .
Pembahasan:
Deret hitung (deret aritmetika) = 20 + 116, berarti n = 2
Deret aritmetika setelah sisipan = 20 + . . . + 111, dengan k = 11 sisipan
Banyak suku baru, n' = n + (n - 1)k
n' = 2 + (1).11
n' = 13
Sn ' = n'/2 (a + Un )
Sn ' = 13/2 (20 + 116)
Sn ' = 13/2 (136)
Sn ' = 884
Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884
10. Soal Cerita dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika
Soal 1 (EBTANAS 2001 SMK)
Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah .......
A. 2.000 buah
B. 1.950 buah
C. 1.900 buah
D. 1.875 buah
E. 1.825 buah
Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U₁ = 50 + 25(1) = 75
U₁₀ = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S₁₀ = 10/2 (75 + 300)
= 5(375)
= 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah
(JAWABAN: D)
Soal 2 (UN 2014)
Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah ....
A. Rp7.500.000,00
B. Rp8.000.000,00
C. Rp52.500.000,00
D. Rp55.000.000,00
Pembahasan:
Diketahui:
Gaji awal (a) = 3.000.000
Kenaikan gaji (b) = 500.000
Ditanyakan:
Jumlah gaji selama 10 tahun (S₁₂).
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₀ = 10/2 (2(3.000.000) + ((10-1).(500.000))
S₁₀ = 5(6.000.000 + 4.500.000)
S₁₀ = 5(10.500.000)
S₁₀ = 52.500.000
Jadi, Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah Rp52.500.000,00
(JAWABAN: C)
Soal 3 (UN 2014)
Sebuah besi dipotong menjadi 5 bagian, sehingga membentuk barisan aritmatika. Jika panjang besi terpendek 1,2 m dan terpanjang 2,4 m, maka panjang besi sebelum dipotong adalah ....
A. 7,5 m
B. 8,0 m
C. 8,2 m
D. 9,0 m
Pembahasan:
Diketahui:
Besi terpendek (a) = 1,2
Besi terpanjang (U₅) = 2,4
Ditanyakan:
Panjang besi sebelum dipotong (S₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (a + Un)
S₅ = 5/2 (1,2 + 2,4)
S₅ = 5/2 (3,6)
S₅ = 5(1,8)
S₅ = 9,0
Jadi, panjang besi sebelum dipotong adalah 9,0 meter.
(JAWABAN: D)
Soal 4 (UN 2014)
Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi, baris berikutnya 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah ....
A. 385
B. 555
C. 1.110
D. 1.140
Pembahasan:
Diketahui:
Banyak barisan kursi (n) =15
Banyak kursi baris pertama (a) = 23
Beda tiap baris kursi (b) = 2
Ditanyakan:
Jumlah kursi (S₁₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₅ = (15/2) (2.23 + (15 - 1)2)
S₁₅ = (15/2) (46 + 28)
S₁₅ = (15/2)(74)
S₁₅ = 15 . 37
S₁₅ = 555
Jadi, jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah 555 kursi.
(JAWABAN: B)
Soal 5 (UN 2013)
Dalam gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri 14 buah, baris kedua berisi 16 buah, baris ketiga 18 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah ....
A. 54 buah
B. 52 buah
C. 40 buah
D. 38 buah
Pembahasan:
Diketahui:
Banyak kursi baris pertama (U₁) = 14
Banyak kursi baris kedua (U₂) = 16
Ditanyakan:
Banyak kursi pada baris ke 20 (U₂₀)
Penyelesaian:
Beda (b) = U₂ - U₁
= 16 - 14
= 2
Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 14 + (20 - 1).2
U₂₀ = 14 + (19).2
U₂₀ = 14 + 38
U₂₀ = 52
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 52 buah.
(JAWABAN: B)
Soal 6 (UMPTN 1998)
Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan keempat 30ribu rupiah, dan sampai bulan kedelapan 172ribu rupiah, maka keuntungan sampai bulan ke-18 adalah .....
A. 1.017 ribu rupiah
B. 1.050 ribu rupiah
C. 1.100 ribu rupiah
D. 1.120 ribu rupiah
E. 1.137 ribu rupiah
Pembahasan:
Diketahui:
Keuntungan sampai bulan ke-4 (S₄) = 30ribu rupiah
Keuntungan sampai bulan ke-8 (S₈) = 172ribu rupiah
Ditanyakan:
Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
Keuntungan sampai bulan keempat (S₄):
S₄ = 4/2 (2a + (4 - 1)b)
<=> 30.000 = 2(2a + 3b)
<=> 15.000 = 2a + 3b ........(1)
Keuntungan sampai bulan kedelapan (S₈):
S₈ = 8/2 (2a + (8 - 1)b)
<=> 172.000 = 4(2a + 7b)
<=> 43.000 = 2a + 7b ........(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 7b = 43.000 -
<=> -4b = -28.000
<=> b = -28.000/-4
<=> b = 7.000
Subtitusi nilai b = 7.000 ke persamaan (1) diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 3(7.000) = 15.000
2a + 21.000 = 15.000
2a = 15.000 - 21.000
2a = -6.000
a = -6.000/2
a = -3.000
Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈)
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₈ = 18/2 (2(-3.000) + (18 - 1).7000)
S₁₈ = 9(-6.000 + 119.000)
S₁₈ = 9(113.000)
S₁₈ = 1.017.000
Jadi, keuntungan sampai bulan ke-18 adalah 1.017 ribu rupiah.
(JAWABAN: A)
Soal 7 (UAN 2003 SMK)
Produksi pupuk organik menghasilkan 100 ton pupuk pada bulan pertama, setiap bulannya menaikan produksinya secara tetap 5 ton. Jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun adalah .....
A. 1.200 ton
B. 1.260 ton
C. 1.500 ton
D.1.530 ton
E. 1.560 ton
Pembahasan:
Diketahui:
Produksi bulan pertama (a) = 100 ton
Kenaikan produksi (b) = 5 ton
Ditanyakan:
Jumlah produksi selama 1 tahun (S₁₂)
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₂ = 12/2 (2(100) + (12 - 1).5)
S₁₂ = 6(200 + 55)
S₁₂ = 6(255)
S₁₂ = 1.530
Jadi, Jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun adalah 1.530 ton.
(JAWABAN: D)
11. Soal dan Pembahasan Menentukan Rumus Suku ke-n
Soal 1
Suku ke-n dari barisan 5, 9, 13, 17, ......
A. n + 4
B. 2n + 1
C. 4n + 1
D. 2n² + 1
Pembahasan:
Diketahui:
Suku pertama (a) = 5
Beda (b) = 9 - 5 = 4
Ditanyakan:
Rumus suku ke-n
Penyelesaian:
Un = a + (n - 1)b
= 5 + (n - 1).4
= 5 + 4n - 4
= 4n + 1
(Jawaban: C)
Soal 2
Suku keempat dan kesepuluh suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 21 dan 51. Rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah .....
Pembahasan:
Diketahui:
Suku keempat (U₄) = 21
Suku kesepuluh (U₁₀) = 51
Ditanyakan:
Rumus suku ke-n.
Penyelesaian:
Un = a + (n -1)b
Suku keempat (U₄) = 21
a + (4 - 1).b = 21
a + 3b = 21 ........(1)
Suku kesepuluh (U₁₀) = 51
a + (10 - 1)b = 51
a + 9b = 51 .........(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
a + 3b = 21
a + 9b = 51 -
-6b = -30
b = -30/-6
b = 5
Subtitusi nilai b = 5 ke persamaan (1), diperoleh:
a + 3b = 21
a + 3(5) = 21
a +15 = 21
a = 21 - 15
a = 6
Rumus suku ke-n (Un):
Un = a + (n - 1)b
Un = 6 + (n - 1)5
Un = 6 + 5n - 5
Un = 5n + 1
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 5n + 1
Soal 3 (UAN 2002)
Suku ke-n suatu deret aritmatika adalah Un = 3n - 5. Rumus jumlah n suku yang pertama deret tersebut adalah .....
A. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 7)
B. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 5)
C. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 4)
D. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 3)
E. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 2)
Pembahasan:
Un = 3n - 5
Suku pertama (a):
a = U₁ = 3(1) - 5
= 3 - 5
= -2
Rumus jumlah n suku yang pertama (Sn):
Sn = $\frac{n}{2}$(a + Un)
Sn = $\frac{n}{2}$(-2 + (3n - 5))
Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 7)
(Jawaban: A)
Soal 4 (PROYEK PERINTIS 1983)
Jumlah n suku yang pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 17). Rumus untuk suku ke-n deret ini adalah .....
A. 3n - 10
B. 3n - 8
C. 3n - 6
D. 3n - 4
E. 3n - 2
Pembahasan:
Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 17)
Suku pertama (a):
a = S₁ = $\frac{1}{2}$(3(1) - 17)
a = $\frac{1}{2}$(-14)
a = -7
Rumus untuk suku ke-n (Un):
Sn = $\frac{n}{2}$ (a + Un)
$\frac{n}{2}$(3n - 17) = $\frac{n}{2}$ (a + Un)
<=> 3n - 17 = a + Un
<=> a + Un = 3n - 17
<=> -7 + Un = 3n -17
<=> Un = 3n - 17 + 7
<=> Un = 3n - 10
(Jawaban: A)
Soal 5
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n² + 3n. Rumus suku ke-n deret aritmatika tersebut adalah.....
Pembahasan:
Sn = n² + 3n
Suku pertama (a):
a = S₁ = (1)² + 3(1)
a = 1 + 3
a = 4
Rumus untuk suku ke-n (Un):
Sn = $\frac{n}{2}$ (a + Un)
n² + 3n = $\frac{n}{2}$ (a + Un)
<=> n(n + 3) = $\frac{n}{2}$ (4 + Un)
<=> n + 3 = $\frac{1}{2}$ (4 + Un)
<=> 2(n + 3) = 4 + Un
<=> 2n + 6 = 4 + Un
<=> 4 + Un = 2n + 6
<=> Un = 2n + 6 - 4
<=> Un = 2n + 2
Soal 6 (UAN 2002 IPA P4)
Jumlah suku ketiga dan ketujuh suatu deret aritmatika adalah 12 dan suku kesepuluh adalah -24. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah Sn = .....
A. 18n - 3n²
B. 33n - 3n²
C. 27n - 3n²
D. 30n - 3n²
E. 66n - 3n²
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
U₃ = a + 2b
U₇ = a + 6b
Suku ketiga + suku ketujuh = 12
(a + 2b) + (a + 6b) = 12
2a + 8b = 12
a + 4b = 6 .................(1)
Suku kesepuluh = -24
a + (10 - 1) = -24
a + 9b = -24 .............(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2),diperoleh:
a + 4b = 6
a + 9b = -24 -
-5b = 30
b = 30/-5
b = -6
Subtitusi nilai b = -6 ke persamaan (1)
a + 4b = 6
a + 4(-6) = 6
a - 24 = 6
a = 6 + 24
a = 30
Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
Sn = $\frac{n}{2}$(2a + (n - 1)b)
Sn = $\frac{n}{2}$(2(30) + (n - 1)(-6))
Sn = $\frac{n}{2}$(60 - 6n + 6)
Sn = $\frac{n}{2}$(66 - 6n)
Sn = n(33 - 3n)
Sn = 33n - 3n²
(Jawaban: B)
Soal 7 (UMPTN 1990)
Jumlah n bilangan bulat positif pertama sama dengan ......
A. n(n - 1)
B. $\frac{n(n - 1)}{2}$
C. n(n + 1)
D. $\frac{n(n + 1)}{2}$
E. n²
Pembahasan:
Bilangan bulat positif = 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Suku pertama (a) = 1
Beda tiap suku (b) = 1
Jumlah bilangan bulat positif pertama (Sn):
Sn = $\frac{n}{2}$(2a + (n - 1)b)
Sn = $\frac{n}{2}$(2.1 + (n - 1)1)
Sn = $\frac{n}{2}$(2 + n - 1)
Sn = $\frac{n}{2}$(n + 1)
Sn = $\frac{n(n + 1)}{2}$
(Jawaban: D
Demikian Materi dan Contoh Pembahasan Soal Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri Matematika Wajib Kelas 11. semoga bermanfaat
Kelas : kelas 11
Program : Matematika Wajib SMA
Judul Search Blog : Materi dan Contoh Pembahasan Soal Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri Matematika Wajib Kelas 11
Blog Share :Ajaib Matematika (https://angka6174.blogspot.com)
Gambar : Gambar 2 Contoh Pembahasan Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri
1. Barisan Aritmatika
Suatu barisan U1 , U2 , U3 ,..., Un disebut barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan "b".
Jadi, b = U2 - U1 = U3 - U2 = Un - Un-1
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmatika adalah:
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + 2b
U4 = U3 + b = a + 3b
...
Un = Un-1 + b = a + (n - 1)b
Bentuk Un = a + (n - 1)b ; untuk n bilangan asli ini merupakan bentuk umum dari barisan aritmatika.
Contoh Soal.
Diketahui suatu barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ....
Tentukan:
a. Suku pertama
b. Beda
c. Suku ke 48
Pembahasan:
Barisan aritmatika: -7, -2, 3, 8, 13, 18, ....
a. Suku pertama (a) = -7
b. Beda (b) = U₂ - U₁
= -2 -(-7)
= -2 + 7
= 5
c. Suku ke 48
Un = a + (n - 1)b
U₄₈ = a + (48 - 1)b
= -7 + (48 - 1).5
= -7 + (47).5
= -7 + 235
= 228
2. Deret Aritmatika (Deret Hitung)
Arti dari deret aritmatika disini adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret aritmatika adalah:
a + (a + b) + (a + 2b) + ...+ {a + (n -1)b}
Jumlah n suku pertama deret aritmatika (Sn) dirumuskan sebagai:
Sn = n/2 (a + Un ) atau Sn = n/2{2a + (n - 1)b}
Contoh Soal.
Diketahui barisan aritmatika 27, 24, 21, ....
Tentukan jumlah 20 suku pertama barisan tersebut.
Pembahasan:
Barisan: 27, 24, 21, ....
Suku pertama (a) = 27
Beda (b) = 24 - 27 = -3
Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 27 + (20 - 1).(-3)
= 27 + (19).(-3)
= 27 - 57
= -30
Sn = n/2 (a + Un )
S₂₀ = 20/2 (a + U₂₀)
= 10 (27 + (-30))
= 10 (-3)
= -30
Jadi, jumlah 20 suku pertama barisan tersebut adalah -30
3. Hubungan antara barisan (Un) dan deret aritmatika (Sn)
Hubungan antara barisan (Un) dan deret aritmatika (Sn) dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.
Un = Sn - Sn-1
4. Sisipan Barisan Aritmatika
Misalkan U1 , U2 , U3 , ..., Un adalah barisan aritmatika dengan suku pertama U1 = a, beda = b, banyaknya suku = n. Apabila di antara dua suku disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membuat barisan aritmatika yang baru, maka:
Barisan semula : a, a+b, a+2b, ...
Barisan baru: a, (a + b), (a + 2b), ..., (a + kb), a + (k + 1)b,...
Di antara barisan semula dan barisan baru diperoleh hubungan:
1. Beda baru (b') => b' = b : (k + 1)
2. Banyaknya suku baru (n') => n' = n + (n - 1)k
3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn ') => Sn ' = n'/2 x (a + Un )
5. Barisan Geometri
Suatu barisan U1 , U2 , U3 ,..., Un disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap, perbandingan antara dua suku yang berurutan itu disebut pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan "r". Jadi:
Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah
U1 = a
U2 = ar
U3 = ar2
...
Un = arn-1
Bentuk Un = arn-1 merupakan bentuk umum barisan geometri.6. Deret Geometri (Deret Ukur)
Arti dari deret geometri adalah penjumlahan dari semua suku-suku barisan geometri secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret geometri adalah:
a + ar + ar2 + ... + arn-1
Jumlah n suku pertama deret geometri (Sn ) dirumuskan sebagai:
7. Hubungan antara barisan (Un ) dan deret geometri (Sn)
Hubungan antara barisan (Un ) dan deret geometri (Sn) dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.
Hubungan antara barisan (Un ) dan deret geometri (Sn) dapat dilihat pada persamaan di bawah ini.
Un = Sn - Sn-1
8. Sisipan Barisan Geometri
Misalkan diketahui barisan U1 , U2 , U3 ,...,Un . Apabila di antara dua suku yang berurutan disisipkan k buah suku baru sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka:
1. Rasio baru (r')
2. Banyaknya suku baru (n')
n' = n + (n - 1)k
3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn')
9. Soal dan Pembahasan Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri
Soal ❶
Diketahui suatu barisan aritmetika:
-2, 3, 8, 13, 18, 23, . . .
Tentukan suku ke-50
Pembahasan:
Dari soal diketahui: a = -2 dan b = 8 - 3 = 5
Un = a + (n - 1)b
U50 = -2 + (50 - 1).5
U50 = -2 + (49).5
U50 = -2 + 245
U50 = 243
Soal ❷
Suku ke-6 suatu barisan aritmatika adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Supaya suku ke-n sama dengan 0, maka nilai n adalah....
Pembahasan:
U6 = a + 5b = 24.000
U10 = a + 9b = 18.000 -
-4b = 6.000
b = -1.500
a + 5b = 24.000
a = 24.000 - 5b
a = 24.000 - 5(-1.500)
a = 24.000 + 7.500
a = 31.500
Diketahui Un = 0
⇔ a + (n - 1)b = 0
⇔ 31.500 + (n - 1).(-1.500) = 0
⇔ 31.500 - 1.500n + 1.500 = 0
⇔ 1.500n = 33.000
⇔ n = 22
Jadi, agar Un = 0, maka nilai n = 22
Soal ❸
Dari sebuah deret hitung diketahui suku ketiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Jumlah 10 suku pertama adalah...
Pembahasan:
Un = a + 2b = 9 ......................................(1)
U5 + U7 = 36
⇔ (a + 4b) + (a + 6b) = 36
⇔ 2a + 10b = 36
⇔ a + 5b = 18......................................(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:
a + 2b = 9
a + 5b = 18 -
-3b = -9
b = -9/-3
b = 3
Subtitusi nilai b = 3 ke persamaan (1) diperoleh:
a + 2b = 9
a = 9 - 2b
a = 9 - 2.3
a = 3
Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
S10 = 10/2 {2.3 + (10 - 1).3}
S10 = 5 . (33)
S10 = 165
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 165
Soal ❹
Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah......
Pembahasan:
Barisan aritmatika: 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131
Suku pertama, a = 5
beda, b = 8 - 5 = 3
Suku ke-n = 131
Suku tengah, Ut = 1/2(a + Un)
= 1/2 (5 + 131)
= 1/2 (136)
= 68
Soal ❺
Jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah....
Pembahasan:
Barisan bilangan di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 105, 110, 115,..., 295
Suku pertama (a) = 105, beda (b) = 5 dan Un = 295
Un = a + (n - 1)b
⇔ 295 = 105 + (n - 1).5
⇔ 295 = 105 + 5n - 5
⇔ 295 = 100 + 5n
⇔ 5n = 295 - 100
⇔ 5n = 195
⇔ n = 195/5 = 39
Sn = n/2 (a + Un)
S39 = 39/2 (105 + 295)
= 39/2 (400)
= 7.800
Jadi, jumlah semua bilangan diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 7.800
Soal ❻
Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah .....
Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U1 = 50 + 25(1) = 75
U10 = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S10 = 10/2 (75 + 300)
= 5(375)
= 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah
Soal ❼
Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semua terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah. . .
Pembahasan:
Deret hitung (deret aritmetika) = 20 + 116, berarti n = 2
Deret aritmetika setelah sisipan = 20 + . . . + 111, dengan k = 11 sisipan
Banyak suku baru, n' = n + (n - 1)k
n' = 2 + (1).11
n' = 13
Sn ' = n'/2 (a + Un )
Sn ' = 13/2 (20 + 116)
Sn ' = 13/2 (136)
Sn ' = 884
Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884
10. Soal Cerita dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmatika
Soal 1 (EBTANAS 2001 SMK)
Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah .......
A. 2.000 buah
B. 1.950 buah
C. 1.900 buah
D. 1.875 buah
E. 1.825 buah
Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U₁ = 50 + 25(1) = 75
U₁₀ = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S₁₀ = 10/2 (75 + 300)
= 5(375)
= 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah
(JAWABAN: D)
Soal 2 (UN 2014)
Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah ....
A. Rp7.500.000,00
B. Rp8.000.000,00
C. Rp52.500.000,00
D. Rp55.000.000,00
Pembahasan:
Diketahui:
Gaji awal (a) = 3.000.000
Kenaikan gaji (b) = 500.000
Ditanyakan:
Jumlah gaji selama 10 tahun (S₁₂).
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₀ = 10/2 (2(3.000.000) + ((10-1).(500.000))
S₁₀ = 5(6.000.000 + 4.500.000)
S₁₀ = 5(10.500.000)
S₁₀ = 52.500.000
Jadi, Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah Rp52.500.000,00
(JAWABAN: C)
Soal 3 (UN 2014)
Sebuah besi dipotong menjadi 5 bagian, sehingga membentuk barisan aritmatika. Jika panjang besi terpendek 1,2 m dan terpanjang 2,4 m, maka panjang besi sebelum dipotong adalah ....
A. 7,5 m
B. 8,0 m
C. 8,2 m
D. 9,0 m
Pembahasan:
Diketahui:
Besi terpendek (a) = 1,2
Besi terpanjang (U₅) = 2,4
Ditanyakan:
Panjang besi sebelum dipotong (S₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (a + Un)
S₅ = 5/2 (1,2 + 2,4)
S₅ = 5/2 (3,6)
S₅ = 5(1,8)
S₅ = 9,0
Jadi, panjang besi sebelum dipotong adalah 9,0 meter.
(JAWABAN: D)
Soal 4 (UN 2014)
Dalam ruang sidang terdapat 15 baris kursi, baris paling depan terdapat 23 kursi, baris berikutnya 2 kursi lebih banyak dari baris di depannya. Jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah ....
A. 385
B. 555
C. 1.110
D. 1.140
Pembahasan:
Diketahui:
Banyak barisan kursi (n) =15
Banyak kursi baris pertama (a) = 23
Beda tiap baris kursi (b) = 2
Ditanyakan:
Jumlah kursi (S₁₅).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₅ = (15/2) (2.23 + (15 - 1)2)
S₁₅ = (15/2) (46 + 28)
S₁₅ = (15/2)(74)
S₁₅ = 15 . 37
S₁₅ = 555
Jadi, jumlah kursi dalam ruangan sidang tersebut adalah 555 kursi.
(JAWABAN: B)
Soal 5 (UN 2013)
Dalam gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri 14 buah, baris kedua berisi 16 buah, baris ketiga 18 buah dan seterusnya selalu bertambah 2. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah ....
A. 54 buah
B. 52 buah
C. 40 buah
D. 38 buah
Pembahasan:
Diketahui:
Banyak kursi baris pertama (U₁) = 14
Banyak kursi baris kedua (U₂) = 16
Ditanyakan:
Banyak kursi pada baris ke 20 (U₂₀)
Penyelesaian:
Beda (b) = U₂ - U₁
= 16 - 14
= 2
Un = a + (n - 1)b
U₂₀ = 14 + (20 - 1).2
U₂₀ = 14 + (19).2
U₂₀ = 14 + 38
U₂₀ = 52
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 52 buah.
(JAWABAN: B)
Soal 6 (UMPTN 1998)
Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Bila keuntungan sampai bulan keempat 30ribu rupiah, dan sampai bulan kedelapan 172ribu rupiah, maka keuntungan sampai bulan ke-18 adalah .....
A. 1.017 ribu rupiah
B. 1.050 ribu rupiah
C. 1.100 ribu rupiah
D. 1.120 ribu rupiah
E. 1.137 ribu rupiah
Pembahasan:
Diketahui:
Keuntungan sampai bulan ke-4 (S₄) = 30ribu rupiah
Keuntungan sampai bulan ke-8 (S₈) = 172ribu rupiah
Ditanyakan:
Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈).
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
Keuntungan sampai bulan keempat (S₄):
S₄ = 4/2 (2a + (4 - 1)b)
<=> 30.000 = 2(2a + 3b)
<=> 15.000 = 2a + 3b ........(1)
Keuntungan sampai bulan kedelapan (S₈):
S₈ = 8/2 (2a + (8 - 1)b)
<=> 172.000 = 4(2a + 7b)
<=> 43.000 = 2a + 7b ........(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 7b = 43.000 -
<=> -4b = -28.000
<=> b = -28.000/-4
<=> b = 7.000
Subtitusi nilai b = 7.000 ke persamaan (1) diperoleh:
2a + 3b = 15.000
2a + 3(7.000) = 15.000
2a + 21.000 = 15.000
2a = 15.000 - 21.000
2a = -6.000
a = -6.000/2
a = -3.000
Keuntungan sampai bulan ke-18 (S₁₈)
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₈ = 18/2 (2(-3.000) + (18 - 1).7000)
S₁₈ = 9(-6.000 + 119.000)
S₁₈ = 9(113.000)
S₁₈ = 1.017.000
Jadi, keuntungan sampai bulan ke-18 adalah 1.017 ribu rupiah.
(JAWABAN: A)
Soal 7 (UAN 2003 SMK)
Produksi pupuk organik menghasilkan 100 ton pupuk pada bulan pertama, setiap bulannya menaikan produksinya secara tetap 5 ton. Jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun adalah .....
A. 1.200 ton
B. 1.260 ton
C. 1.500 ton
D.1.530 ton
E. 1.560 ton
Pembahasan:
Diketahui:
Produksi bulan pertama (a) = 100 ton
Kenaikan produksi (b) = 5 ton
Ditanyakan:
Jumlah produksi selama 1 tahun (S₁₂)
Penyelesaian:
Sn = n/2 (2a + (n - 1)b)
S₁₂ = 12/2 (2(100) + (12 - 1).5)
S₁₂ = 6(200 + 55)
S₁₂ = 6(255)
S₁₂ = 1.530
Jadi, Jumlah pupuk yang diproduksi selama 1 tahun adalah 1.530 ton.
(JAWABAN: D)
11. Soal dan Pembahasan Menentukan Rumus Suku ke-n
Soal 1
Suku ke-n dari barisan 5, 9, 13, 17, ......
A. n + 4
B. 2n + 1
C. 4n + 1
D. 2n² + 1
Pembahasan:
Diketahui:
Suku pertama (a) = 5
Beda (b) = 9 - 5 = 4
Ditanyakan:
Rumus suku ke-n
Penyelesaian:
Un = a + (n - 1)b
= 5 + (n - 1).4
= 5 + 4n - 4
= 4n + 1
(Jawaban: C)
Soal 2
Suku keempat dan kesepuluh suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 21 dan 51. Rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah .....
Pembahasan:
Diketahui:
Suku keempat (U₄) = 21
Suku kesepuluh (U₁₀) = 51
Ditanyakan:
Rumus suku ke-n.
Penyelesaian:
Un = a + (n -1)b
Suku keempat (U₄) = 21
a + (4 - 1).b = 21
a + 3b = 21 ........(1)
Suku kesepuluh (U₁₀) = 51
a + (10 - 1)b = 51
a + 9b = 51 .........(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
a + 3b = 21
a + 9b = 51 -
-6b = -30
b = -30/-6
b = 5
Subtitusi nilai b = 5 ke persamaan (1), diperoleh:
a + 3b = 21
a + 3(5) = 21
a +15 = 21
a = 21 - 15
a = 6
Rumus suku ke-n (Un):
Un = a + (n - 1)b
Un = 6 + (n - 1)5
Un = 6 + 5n - 5
Un = 5n + 1
Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah 5n + 1
Soal 3 (UAN 2002)
Suku ke-n suatu deret aritmatika adalah Un = 3n - 5. Rumus jumlah n suku yang pertama deret tersebut adalah .....
A. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 7)
B. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 5)
C. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 4)
D. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 3)
E. Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 2)
Pembahasan:
Un = 3n - 5
Suku pertama (a):
a = U₁ = 3(1) - 5
= 3 - 5
= -2
Rumus jumlah n suku yang pertama (Sn):
Sn = $\frac{n}{2}$(a + Un)
Sn = $\frac{n}{2}$(-2 + (3n - 5))
Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 7)
(Jawaban: A)
Soal 4 (PROYEK PERINTIS 1983)
Jumlah n suku yang pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 17). Rumus untuk suku ke-n deret ini adalah .....
A. 3n - 10
B. 3n - 8
C. 3n - 6
D. 3n - 4
E. 3n - 2
Pembahasan:
Sn = $\frac{n}{2}$(3n - 17)
Suku pertama (a):
a = S₁ = $\frac{1}{2}$(3(1) - 17)
a = $\frac{1}{2}$(-14)
a = -7
Rumus untuk suku ke-n (Un):
Sn = $\frac{n}{2}$ (a + Un)
$\frac{n}{2}$(3n - 17) = $\frac{n}{2}$ (a + Un)
<=> 3n - 17 = a + Un
<=> a + Un = 3n - 17
<=> -7 + Un = 3n -17
<=> Un = 3n - 17 + 7
<=> Un = 3n - 10
(Jawaban: A)
Soal 5
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n² + 3n. Rumus suku ke-n deret aritmatika tersebut adalah.....
Pembahasan:
Sn = n² + 3n
Suku pertama (a):
a = S₁ = (1)² + 3(1)
a = 1 + 3
a = 4
Rumus untuk suku ke-n (Un):
Sn = $\frac{n}{2}$ (a + Un)
n² + 3n = $\frac{n}{2}$ (a + Un)
<=> n(n + 3) = $\frac{n}{2}$ (4 + Un)
<=> n + 3 = $\frac{1}{2}$ (4 + Un)
<=> 2(n + 3) = 4 + Un
<=> 2n + 6 = 4 + Un
<=> 4 + Un = 2n + 6
<=> Un = 2n + 6 - 4
<=> Un = 2n + 2
Soal 6 (UAN 2002 IPA P4)
Jumlah suku ketiga dan ketujuh suatu deret aritmatika adalah 12 dan suku kesepuluh adalah -24. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah Sn = .....
A. 18n - 3n²
B. 33n - 3n²
C. 27n - 3n²
D. 30n - 3n²
E. 66n - 3n²
Pembahasan:
Un = a + (n - 1)b
U₃ = a + 2b
U₇ = a + 6b
Suku ketiga + suku ketujuh = 12
(a + 2b) + (a + 6b) = 12
2a + 8b = 12
a + 4b = 6 .................(1)
Suku kesepuluh = -24
a + (10 - 1) = -24
a + 9b = -24 .............(2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2),diperoleh:
a + 4b = 6
a + 9b = -24 -
-5b = 30
b = 30/-5
b = -6
Subtitusi nilai b = -6 ke persamaan (1)
a + 4b = 6
a + 4(-6) = 6
a - 24 = 6
a = 6 + 24
a = 30
Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
Sn = $\frac{n}{2}$(2a + (n - 1)b)
Sn = $\frac{n}{2}$(2(30) + (n - 1)(-6))
Sn = $\frac{n}{2}$(60 - 6n + 6)
Sn = $\frac{n}{2}$(66 - 6n)
Sn = n(33 - 3n)
Sn = 33n - 3n²
(Jawaban: B)
Soal 7 (UMPTN 1990)
Jumlah n bilangan bulat positif pertama sama dengan ......
A. n(n - 1)
B. $\frac{n(n - 1)}{2}$
C. n(n + 1)
D. $\frac{n(n + 1)}{2}$
E. n²
Pembahasan:
Bilangan bulat positif = 1, 2, 3, 4, 5, . . .
Suku pertama (a) = 1
Beda tiap suku (b) = 1
Jumlah bilangan bulat positif pertama (Sn):
Sn = $\frac{n}{2}$(2a + (n - 1)b)
Sn = $\frac{n}{2}$(2.1 + (n - 1)1)
Sn = $\frac{n}{2}$(2 + n - 1)
Sn = $\frac{n}{2}$(n + 1)
Sn = $\frac{n(n + 1)}{2}$
(Jawaban: D
Demikian Materi dan Contoh Pembahasan Soal Barisan, Deret Aritmatika dan Geometri Matematika Wajib Kelas 11. semoga bermanfaat
